数学轶事：解析“伯努利家族”在财富风险评估中提出的边际效用理论

当财富曲线在你眼前忽明忽暗，真正左右决策的并非金额本身，而是你对每一单位财富的主观感受。正是在这点上，“伯努利家族”的洞见具备跨越三个世纪的生命力：他们用一个看似朴素的观点改写了财富风险评估——钱越多，每再多一块钱带来的满足越少，这就是边际效用。

18世纪的“圣彼得堡悖论”是转折点：一张期望值“无限大”的彩票，几乎没人愿意出高价购买。丹尼尔·伯努利在1738年提出：用效用而不是金额来度量价值，且效用随财富递增但增速放缓（典型如对数函数）。这意味着递减的边际效用会自然产生风险厌恶，从而解释人们为何拒绝“数学上划算”的赌局，并为现代的财富风险评估奠定了基石。

换句话说，我们最大化的并非收益的算术平均，而是期望效用：以概率加权的效用值之和。由于效用函数是凹的，损失带来的效用下滑往往大于同额收益带来的提升，理性的策略因此从“赢得最多”转向让后悔最小。这套框架使“效用函数”“风险偏好”成为可建模的对象，让估值、投保、资产配置更贴近人类真实决策。

落到实务层面，伯努利的观点直连三类决策：

• 保险与对冲：人们愿意付出确定的小额保费，换取避免大亏的不确定性，反映了风险溢价。
• 投资组合：在同等期望收益下，分散化降低波动对效用的侵蚀，契合期望效用最大化与现代均值—方差框架的统一。
• 绩效评估：用效用基准（而非收益率）衡量策略，更能捕捉回撤与尾部风险的真实成本。

小案例（以对数效用近似理性风险厌恶）：初始财富1000，方案A以50%概率赢100、50%概率亏100；方案B确定性赚10。A的期望收益为0，B为+10，但比较期望效用更关键：EU(A)=0.5·ln(1100)+0.5·ln(900)，EU(B)=ln(1010)。计算可见，EU(B)略高于EU(A)，因此理性风险厌恶者会选择B。这一偏好并非“保守”，而是源自边际效用递减对大亏的惩罚更重。

从“圣彼得堡悖论”的轶事出发，伯努利家族把“金钱的心理刻度”写进数学：当你将收益曲线映射为效用曲线，财富管理中的价格、概率与偏好便能同台对话。今天的资产配置、保险精算、风控预算，仍在沿用这条线索：用可度量的期望效用，把不确定性转化为可比较的价值度量，并据此做出更一致、更可解释的决策。